Consejos útiles

La solución de ecuaciones cuadráticas.

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Este artículo considera la ecuación cuadrática estándar de la forma:

El artículo deriva una fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática mediante el método de complementar a un cuadrado completo, valores numéricos en su lugar un, b, c No será sustituido.

ax 2 + bx + c = 0 2 Divide ambos lados de la ecuación por pero.

x 2 + (b / a) x + c / a = 0 3 Restar s / a de ambos lados de la ecuación.

x 2 + (b / a) x = -c / a 4 Divida el coeficiente en x (b / a) por 2, y luego cuadra el resultado. Agrega el resultado a ambos lados de la ecuación.

x 2 + (b / a) x + b 2 / 4a 2 = -c / a + b 2 / 4a 2 5 Simplifique la expresión factorizando el lado izquierdo y agregando los términos en el lado derecho (primero encuentre el denominador común).

(x + b / 2a) (x + b / 2a) = (-4ac / 4a 2) + (b 2 / 4a 2)

(x + b / 2a) 2 = (b 2 - 4ac) / 4a 2 6 Extraiga la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación.

√ ((x + b / 2a) 2) = ± √ ((b 2 - 4ac) / 4a 2)

x + b / 2a = ± √ (b 2 - 4ac) / 2a 7 Restar b / 2a de ambos lados y obtienes la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática.

Discriminante

Deje que se dé la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0. Entonces, este es solo el número D = b 2 - 4 ac.

Esta fórmula debe ser conocida de memoria. De dónde viene ahora no es importante. Otra cosa es importante: mediante el signo del discriminante puede determinar cuántas raíces tiene la ecuación cuadrática. A saber:

  1. Si D D = 0, hay exactamente una raíz,
  2. Si D> 0, habrá dos raíces.

Nota: el discriminante indica el número de raíces, y en absoluto sus signos, como por alguna razón muchos creen. Eche un vistazo a los ejemplos y comprenderá todo usted mismo:

Desafío Cuántas raíces tienen ecuaciones cuadráticas:

  1. x 2 - 8 x + 12 = 0,
  2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0,
  3. x 2 - 6 x + 9 = 0.

Escribimos los coeficientes para la primera ecuación y encontramos el discriminante:
a = 1, b = −8, c = 12,
D = (−8) 2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16

Entonces, el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces diferentes. Del mismo modo, analizamos la segunda ecuación:
a = 5, b = 3, c = 7,
D = 3 2 - 4 · 5 · 7 = 9 - 140 = −131.

El discriminante es negativo, no hay raíces. La última ecuación permanece:
a = 1, b = −6, c = 9,
D = (−6) 2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.

El discriminante es cero: la raíz será una.

Tenga en cuenta que los coeficientes se escribieron para cada ecuación. Sí, es mucho tiempo, sí, es aburrido, pero no confundirás los coeficientes ni cometerás errores tontos. Elige por ti mismo: velocidad o calidad.

Por cierto, si "pone la mano en ello", después de un tiempo no necesita anotar todas las probabilidades. Realizarás tales operaciones en tu cabeza. La mayoría de las personas comienzan a hacerlo después de 50-70 ecuaciones resueltas, en general, no tanto.

Las raíces de la ecuación cuadrática.

Ahora pasemos a la solución. Si el discriminante es D> 0, las fórmulas pueden encontrar las raíces:

La fórmula básica de las raíces de la ecuación cuadrática.

Cuando D = 0, puede usar cualquiera de estas fórmulas: obtendrá el mismo número, que será la respuesta. Finalmente, si D x 2 - 2 x - 3 = 0,

  • 15 - 2 x - x 2 = 0,
  • x 2 + 12 x + 36 = 0.
  • Primera ecuación:
    x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1, b = −2, c = −3,
    D = (−2) 2 - 4 · 1 · (−3) = 16.

    D> 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces. Encuéntralos:

    La segunda ecuación:
    15 - 2 x - x 2 = 0 ⇒ a = −1, b = −2, c = 15,
    D = (−2) 2 - 4 · (−1) · 15 = 64.

    D> 0 ⇒ la ecuación nuevamente tiene dos raíces. Encontrarlos

    Finalmente, la tercera ecuación:
    x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1, b = 12, c = 36,
    D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ la ecuación tiene una raíz. Puedes usar cualquier fórmula. Por ejemplo, el primero:

    Como puede ver en los ejemplos, todo es muy simple. Si conoce las fórmulas y puede contar, no habrá problemas. Muy a menudo, se producen errores al sustituir los coeficientes negativos en la fórmula. Aquí nuevamente, la técnica descrita anteriormente ayudará: mire la fórmula literalmente, escriba cada paso y muy pronto elimine los errores.

    Ecuaciones cuadráticas incompletas

    Sucede que la ecuación cuadrática es algo diferente de lo que se da en la definición. Por ejemplo:

    Es fácil notar que uno de los términos está ausente en estas ecuaciones. Tales ecuaciones cuadráticas son aún más fáciles de resolver que las estándar: ni siquiera necesitan considerar el discriminante. Entonces, presentamos un nuevo concepto:

    La ecuación ax 2 + bx + c = 0 se llama si b = 0 o c = 0, es decir El coeficiente de la variable x o del elemento libre es cero.

    Por supuesto, es posible un caso muy difícil cuando ambos coeficientes son iguales a cero: b = c = 0. En este caso, la ecuación toma la forma de a x 2 = 0. Obviamente, esta ecuación tiene una sola raíz: x = 0.

    Considere los casos restantes. Sea b = 0, entonces obtenemos una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0. La transformamos ligeramente:

    Solución de una ecuación cuadrática incompleta

    Como la raíz cuadrada aritmética solo existe a partir de un número no negativo, la última igualdad solo tiene sentido para (- c / a) ≥ 0. Conclusión:

    1. Si la desigualdad (- c / a) ≥ 0 se mantiene en una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0, habrá dos raíces. La fórmula se da arriba
    2. Si (- c / a) c / a) ≥ 0. Es suficiente expresar la cantidad x 2 y ver qué hay al otro lado del signo igual. Si hay un número positivo, habrá dos raíces. Si es negativo, no habrá raíces en absoluto.

    Ahora trataremos con ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0, en las que el elemento libre es igual a cero. Aquí todo es simple: siempre habrá dos raíces. Es suficiente factorizar el polinomio:

    Horquillado del factor común

    El producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. A partir de aquí son las raíces. En conclusión, analizamos varias de estas ecuaciones:

    Desafío Resolver ecuaciones cuadráticas:

    x 2 - 7 x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0, x 2 = −(−7)/1 = 7.

    5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. No hay raíces, porque el cuadrado no puede ser igual a un número negativo.

    4 x 2 - 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5, x 2 = −1,5.

    Ejemplos de ecuaciones cuadráticas.

    • 5x 2 - 14x + 17 = 0
    • −x 2 + x +
      1
      3
      = 0
    • x 2 + 0.25x = 0
    • x 2 - 8 = 0

    Para encontrar "a", "b" y "c" necesita comparar su ecuación con la forma general de la ecuación cuadrática "ax 2 + bx + c = 0".

    Practiquemos la definición de los coeficientes a, byc en ecuaciones cuadráticas.

    EcuaciónLas probabilidades
    5x 2 - 14x + 17 = 0
    • a = 5
    • b = −14
    • c = 17
    −7x 2 - 13x + 8 = 0
    • a = −7
    • b = −13
    • c = 8
    −x 2 + x +
    1
    3
    = 0
    • a = −1
    • b = 1
    • c =
      1
      3
    x 2 + 0.25x = 0
    • a = 1
    • b = 0.25
    • c = 0
    x 2 - 8 = 0
    • a = 1
    • b = 0
    • c = −8

    Cómo resolver ecuaciones cuadráticas

    A diferencia de las ecuaciones lineales, se utiliza una fórmula especial para encontrar las raíces para resolver ecuaciones cuadráticas..

    Para resolver la ecuación cuadrática necesitas:

    • reduzca la ecuación cuadrática a la forma general "ax 2 + bx + c = 0". Es decir, solo "0" debe permanecer en el lado derecho,
    • usa la fórmula para las raíces:

    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    Veamos un ejemplo de cómo aplicar la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. Resuelve la ecuación cuadrática.

    La ecuación "x 2 - 3x - 4 = 0" ya se ha reducido a la forma general "ax 2 + bx + c = 0" y no requiere simplificaciones adicionales. Para resolverlo, solo necesitamos aplicar La fórmula para encontrar las raíces de la ecuación cuadrática.

    Defina los coeficientes "a", "b" y "c" para esta ecuación.

    EcuaciónLas probabilidades
    x 2 - 3x - 4 = 0
    • a = 1
    • b = −3
    • c = −4

    Sustitúyalos en la fórmula y encuentre las raíces.

    x 2 - 3x - 4 = 0
    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    x1,2 =
    −(−3) ± √ (−3) 2 − 4 · 1· (−4)
    2 · 1

    x1,2 =
    3 ± √ 9 + 16
    2

    x1,2 =
    3 ± √ 25
    2

    x1,2 =
    3 ± 5
    2

    x1 =
    3 + 5
    2
    x2 =
    3 − 5
    2
    x1 =
    8
    2
    x2 =
    −2
    2
    x1 = 4x2 = −1

    Respuesta: x1 = 4, x2 = −1

    Asegúrese de memorizar la fórmula para encontrar las raíces.

    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    Con su ayuda, se resuelve cualquier ecuación cuadrática.

    En la fórmula "x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a
    »A menudo reemplaza la expresión radical
    "B 2 - 4ac" en la letra "D" y se llama discriminante. El concepto de discriminante se analiza con más detalle en la lección "Qué es discriminante".

    Considere otro ejemplo de una ecuación cuadrática.

    De esta forma, determinar los coeficientes "a", "b" y "c" es bastante difícil. Primero traigamos la ecuación a la forma general "ax 2 + bx + c = 0".

    Ahora puedes usar la fórmula para las raíces.

    x1,2 =
    −(−6) ± √ (−6) 2 − 4 · 1 · 9
    2 · 1

    x1,2 =
    6 ± √ 36 − 36
    2

    x1,2 =
    6 ± √ 0
    2

    x1,2 =
    6 ± 0
    2

    x =
    6
    2

    x = 3
    Respuesta: x = 3

    Hay momentos en que no hay raíces en las ecuaciones cuadráticas. Esta situación surge cuando aparece un número negativo en la fórmula debajo de la raíz.

    De la definición de la raíz cuadrada recordamos que es imposible extraer la raíz cuadrada de un número negativo.

    Considere un ejemplo de una ecuación cuadrática que no tiene raíces.

    5x 2 + 2x = - 3
    5x 2 + 2x + 3 = 0
    x1,2 =
    −2 ± √ 2 2 − 4 · 3 · 5
    2 · 5

    x1,2 =
    −2 ± √ 4 − 60
    10

    x1,2 =
    −2 ± √ −56
    10

    Respuesta: no hay raíces válidas.

    Entonces, tenemos una situación en la que hay un número negativo debajo de la raíz. Esto significa que no hay raíces en la ecuación. Por lo tanto, en respuesta, escribimos "No hay raíces reales".

    ¿Qué significan las palabras "sin raíces reales"? ¿Por qué no puedes simplemente escribir "sin raíces"?

    De hecho, hay raíces en tales casos, pero no pasan por el currículo escolar, por lo tanto, en respuesta, registramos que entre los números reales no hay raíces. En otras palabras, "No hay raíces reales".

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