Consejos útiles

Teorema de seno y teorema de coseno

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El teorema del coseno se puede aplicar a cualquier lado de un triángulo.

Anotamos las fórmulas para cada lado y descubrimos cómo aplicar el teorema del coseno dependiendo de las condiciones del problema.

El cuadrado de cada lado del triángulo es la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el producto doble de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos.

Para el triángulo ABC

puede ser grabado

en una de tres variaciones:

obtenemos las siguientes tres fórmulas del teorema del coseno:

¿A qué lado del triángulo se aplica el teorema del coseno?

El teorema del coseno se aplica al lado opuesto al cual se determina el ángulo (es decir, es conocido o simplemente necesita ser encontrado).

A continuación, consideramos la aplicación del teorema del coseno para resolver problemas.

La fórmula del teorema del coseno.

El lado cuadrado del triángulo es la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el producto doble de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos.

Es decir, para un triángulo plano con lados $ a $, $ b $ y $ c $ y ángulo $ alpha $, opuesto al lado $ a $, se cumple la siguiente relación:

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras. Las declaraciones que generalizan el teorema de Pitágoras y equivalentes al teorema del coseno se formularon por separado para casos de ángulo agudo y obtuso en 12 y 13 oraciones del segundo libro de los "Principios" del antiguo matemático griego Euclides (c. 300 a. C.). Se usaron afirmaciones equivalentes al teorema del coseno para un triángulo esférico en los escritos de matemáticos en Asia Central. El teorema coseno para el triángulo esférico en la forma habitual fue formulado por el destacado astrólogo, astrónomo y matemático alemán Regiomontan (1436-1476), llamándolo el "teorema de Albathegnia" (llamado así por el destacado astrónomo y matemático medieval Abu Abdallah Muhammad ibn Jabir ibn Sinan al-Batani (85) - 929).

En Europa, el teorema del coseno fue popularizado por el matemático francés Francois Viet (1540-1603) en el siglo XVI. A principios del siglo XIX comenzó a escribirse en la notación algebraica aceptada hasta el día de hoy.

Corolario del teorema del coseno.

El teorema del coseno se puede usar para encontrar el coseno del ángulo de un triángulo:

Si $ b ^ <2> + c ^ <2> -a ^ <2>> 0 $, entonces el ángulo $ alpha $ es agudo,

Si $ b ^ <2> + c ^ <2> -a ^ <2> = 0 $, entonces el ángulo $ alpha $ es una línea recta,

La tarea En el triángulo $ ABC AC = 3, BC = 5 $ y $ AB = 6. $. Encuentre el ángulo opuesto al lado $ AB $

Solución Según el corolario del teorema del coseno, tenemos:

$$ angle A C B = arccos left (- frac <1> <15> right) $$

La respuesta $ angle A C B = arccos left (- frac <1> <15> right) $

La tarea Dado un triángulo es $ ABC $, cuyas longitudes laterales son $ AC = 17, BC = 14, angle ACB = 60 ^ < circ> $. Encuentra la longitud del tercer lado del triángulo en cuestión.

Solución Según el teorema del coseno

$$ A B ^ <2> = A C ^ <2> + B C ^ <2> -2 cdot A C cdot B C cdot cos angle A C B = $$

$$ = 17 ^ <2> + 14 ^ <2> -2 cdot 17 cdot 14 cdot cos 60 ^ < circ> = 289 + 196-238 = 24 $$

Mira el video: Trigonometria- Teorema del seno BACHILLERATO (Diciembre 2021).

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