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Resolver ecuaciones matriciales: teoría y ejemplos

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Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen un conjunto común de incógnitas y, por lo tanto, una solución general. La gráfica del sistema de ecuaciones lineales son dos líneas, y la solución al sistema es el punto de intersección de estas líneas. Para resolver tales sistemas de ecuaciones lineales es útil y conveniente usar matrices.

Parte 1 Fundamentos

  1. 1 Terminología Los sistemas de ecuaciones lineales consisten en varios componentes. La variable se denota por un carácter alfabético (generalmente x o y) y significa un número que aún no conoce y que necesita encontrar. Una constante es un cierto número que no cambia su valor. El coeficiente se llama el número antes de la variable, es decir, el número por el cual se multiplica la variable.
    • Por ejemplo, para una ecuación lineal, 2x + 4y = 8, x e y son variables, 8 es constante y los números 2 y 4 son coeficientes.
  2. 2 Forma para un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) con dos variables se puede escribir de la siguiente manera: ax + by = p, cx + dy = q. Cualquier constante (p, q) puede ser igual a cero, pero cada una de las ecuaciones debe contener al menos una variable (x, y).
  3. 3 expresiones matriciales. Cualquier SLAE puede escribirse en forma de matriz y luego, utilizando las propiedades algebraicas de las matrices, resolverlo. Al escribir un sistema de ecuaciones en forma de matriz, A representa los coeficientes de la matriz, C representa matrices constantes y X denota una matriz desconocida.
    • Por ejemplo, el SLAE presentado anteriormente se puede reescribir en la siguiente forma de matriz: A x X = C.
  4. 4 Matriz extendida. La matriz expandida se obtiene moviendo la matriz de términos libres (constantes) hacia la izquierda. Si tiene dos matrices, A y C, la matriz expandida se verá así:
    • Por ejemplo, para el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
      2x + 4y = 8
      x + y = 2
      La matriz expandida tendrá una dimensión de 2x3 y se verá así:

Parte 2 Convertir una matriz extendida para resolver SLAE

  1. 1 Operaciones elementales. Puede realizar ciertas operaciones en la matriz, mientras recibe una matriz equivalente al original. Tales operaciones se llaman elementales. Por ejemplo, para resolver una matriz de 2x3, debe realizar operaciones de fila para llevar la matriz a una forma triangular. Dichas operaciones pueden incluir:
    • permutación de dos líneas.
    • multiplicando una cadena por un número que no sea cero.
    • multiplicando una línea y agregándola a otra.
  2. 2 Multiplicación de la segunda línea por un número distinto de cero. Si desea obtener cero en la segunda línea, puede multiplicar la línea para que sea posible.
    • Por ejemplo, si tiene una matriz de la siguiente forma:

Puede guardar la primera línea y usarla para obtener cero en la segunda línea. Para hacer esto, primero debes multiplicar la segunda línea por 2: 3 Multiplica de nuevo. Para obtener cero en la primera fila, es posible que deba multiplicar nuevamente utilizando manipulaciones similares.

    En el ejemplo anterior, debe multiplicar la segunda línea por -1:

    Después de la multiplicación, la matriz se verá así:

  • 4 Agregue la primera fila a la segunda. Suma las filas para obtener cero en el lugar del elemento de la primera columna y la segunda fila.
    • En nuestro ejemplo, agregue ambas líneas para obtener lo siguiente:
  • 5 Escriba un nuevo sistema de ecuaciones lineales para la matriz triangular. Después de haber recibido una matriz triangular, puede volver a pasar a SLAU. La primera columna de la matriz corresponde a una variable desconocida x, y la segunda corresponde a una variable desconocida y. La tercera columna corresponde al término libre de la ecuación.
    • Para nuestro ejemplo, el nuevo sistema de ecuaciones lineales tomará la forma:
  • 6 Resuelve la ecuación para una de las variables. En el nuevo SLAE, determine qué variable es más fácil de encontrar y resuelva la ecuación.
    • En nuestro ejemplo, es más conveniente resolver desde el final, es decir, desde la última ecuación hasta la primera, moviéndose de abajo hacia arriba. A partir de la segunda ecuación, podemos encontrar fácilmente una solución para y, ya que eliminamos x, entonces y = 2.
  • 7 Encuentra el segundo desconocido usando el método de sustitución. Después de encontrar una de las variables, puede sustituirla en la segunda ecuación para encontrar la segunda variable.
    • En nuestro ejemplo, simplemente reemplace y con 2 en la primera ecuación para encontrar la x desconocida:
  • Resolver ecuaciones matriciales: cómo hacerlo

    Una ecuación matricial es una ecuación de la forma

    donde Un y B - matrices conocidas, X - matriz desconocida por encontrar.

    ¿Cómo resolver la ecuación matricial en el primer caso? Para resolver una ecuación matricial de la forma UnX = B , ambas partes deben multiplicarse por el inverso de Un matriz a la izquierda:

    .

    Según la definición de la matriz inversa, el producto de la matriz inversa y la matriz original dada es igual a la matriz de identidad: por lo tanto

    .

    Desde E es la matriz de identidad, entonces EX = X . Como resultado, obtenemos que la matriz desconocida X igual al producto de la matriz inversa a la matriz Un , izquierda, a la matriz B :

    .

    ¿Cómo resolver la ecuación matricial en el segundo caso? Si se le da la ecuación

    es decir, en el que en el producto de una matriz desconocida X y matriz conocida Un matriz Un está a la derecha, entonces debe actuar de manera similar, pero cambiando la dirección de multiplicación por una matriz inversa a la matriz Un y multiplica la matriz B a su derecha:

    ,

    ,

    .

    Como puede ver, desde entonces es muy importante qué lado multiplicar por la matriz inversa. Invertir a Un la matriz se multiplica por la matriz B en el lado con el que la matriz Un multiplicado por una matriz desconocida X . Es decir, desde el lado donde está la matriz en el producto con una matriz desconocida Un .

    ¿Cómo resolver la ecuación matricial en el tercer caso? Hay casos en que una matriz desconocida está en el lado izquierdo de la ecuación X está en el medio del producto de tres matrices. Luego, la matriz conocida del lado derecho de la ecuación debe multiplicarse a la izquierda por la matriz inversa a la del producto anterior de las tres matrices a la izquierda, y a la derecha por la matriz inversa a la matriz que se encuentra a la derecha. Por lo tanto, al resolver la ecuación matricial

    .

    Resolver ecuaciones matriciales: ejemplos

    Ejemplo 1 Resuelve la ecuación matricial

    .

    Solución Esta ecuación tiene la forma UnX = B , es decir, en el producto matriz Un y matriz desconocida X matriz Un ubicado a la izquierda. Por lo tanto, la solución debe buscarse en la forma, es decir, la matriz desconocida es igual al producto de la matriz B a la matriz inversa Un a la izquierda Encuentra el inverso de la matriz Un .

    Primero encontramos el determinante de la matriz Un :

    .

    Encuentra el complemento algebraico de la matriz Un :

    .

    Componemos una matriz de complementos algebraicos:

    .

    Al transponer la matriz de complementos algebraicos, encontramos la matriz aliada con la matriz Un :

    .

    Ahora tenemos todo para encontrar la matriz inversa a la matriz Un :

    .

    Finalmente, encontramos la matriz desconocida:

    Ejemplo 2 Resuelve la ecuación matricial

    .

    Ejemplo 3 Resuelve la ecuación matricial

    .

    Solución Esta ecuación tiene la forma XUn = B , es decir, en el producto matriz Un y matriz desconocida X matriz Un ubicado a la derecha. Por lo tanto, la solución debe buscarse en la forma, es decir, la matriz desconocida es igual al producto de la matriz B a la matriz inversa Un a la derecha Encuentra el inverso de la matriz Un .

    Primero encontramos el determinante de la matriz Un :

    .

    Encuentra el complemento algebraico de la matriz Un :

    .

    Componemos una matriz de complementos algebraicos:

    .

    Al transponer la matriz de complementos algebraicos, encontramos la matriz aliada con la matriz Un :

    .

    Encuentra el inverso de la matriz Un :

    .

    Encuentra la matriz desconocida:

    Hasta ahora, hemos resuelto ecuaciones con matrices de segundo orden, y ahora es el turno de las matrices de tercer orden.

    Ejemplo 4 Resuelve la ecuación matricial

    .

    Solución Esta es una ecuación del primer tipo: UnX = B , es decir, en el producto matriz Un y matriz desconocida X matriz Un ubicado a la izquierda. Por lo tanto, la solución debe buscarse en la forma, es decir, la matriz desconocida es igual al producto de la matriz B a la matriz inversa Un a la izquierda Encuentra el inverso de la matriz Un .

    Primero encontramos el determinante de la matriz Un :

    .

    Encuentra el complemento algebraico de la matriz Un :

    Componemos una matriz de complementos algebraicos:

    Al transponer la matriz de complementos algebraicos, encontramos la matriz aliada con la matriz Un :

    .

    Encuentra el inverso de la matriz Un , y lo hacemos fácilmente, ya que el determinante de la matriz Un igual a uno:

    .

    Encuentra la matriz desconocida:

    Ejemplo 5 Resuelve la ecuación matricial

    .

    Solución Esta ecuación tiene la forma XUn = B , es decir, en el producto matriz Un y matriz desconocida X matriz Un ubicado a la derecha. Por lo tanto, la solución debe buscarse en la forma, es decir, la matriz desconocida es igual al producto de la matriz B a la matriz inversa Un a la derecha Encuentra el inverso de la matriz Un .

    Primero encontramos el determinante de la matriz Un :

    .

    Encuentra el complemento algebraico de la matriz Un :

    Componemos una matriz de complementos algebraicos:

    .

    Al transponer la matriz de complementos algebraicos, encontramos la matriz aliada con la matriz Un :

    .

    Encuentra el inverso de la matriz Un :

    .

    Encuentra la matriz desconocida:

    Ejemplo 6 Resuelve la ecuación matricial

    .

    Solución Esta ecuación tiene la forma UnXB = C , es decir, matriz desconocida X está en el medio del producto de tres matrices. Por lo tanto, la solución debe buscarse en la forma. Encuentra el inverso de la matriz Un .

    Primero encontramos el determinante de la matriz Un :

    .

    Encuentra el complemento algebraico de la matriz Un :

    .

    Componemos una matriz de complementos algebraicos:

    .

    Al transponer la matriz de complementos algebraicos, encontramos la matriz aliada con la matriz Un :

    .

    Encuentra el inverso de la matriz Un :

    .

    Encuentra el inverso de la matriz B .

    Primero encontramos el determinante de la matriz B :

    .

    Encuentra el complemento algebraico de la matriz B :

    Componemos la matriz de complementos algebraicos de la matriz. B :

    .

    Al transponer la matriz de complementos algebraicos, encontramos la matriz aliada con la matriz B :

    .

    Encuentra el inverso de la matriz B :

    .

    Introducir datos en una calculadora para resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de la matriz

    • Puede ingresar números o fracciones en la calculadora en línea. Lea más en las reglas para ingresar números.
    • Para cambiar la ecuación de signo de "+" a "-", ingrese números negativos.
    • Si no hay una variable en la ecuación, ingrese cero en el campo de entrada correspondiente de la calculadora.
    • Si no hay números en la ecuación antes de la variable, ingrese uno en el campo de entrada correspondiente de la calculadora.

    Por ejemplo, la ecuación lineal x 1 - 7 x 2 - x 4 = 2

    se ingresará en la calculadora de la siguiente manera:

    Características adicionales de la calculadora para resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de la matriz.

    • Puede moverse entre los campos de entrada presionando las teclas izquierda, derecha, arriba y abajo del teclado.
    • En lugar de x 1, x 2,. Puede ingresar sus nombres de variables.

    Puede ingresar números o fracciones (-2.4, 5/7,). Lea más en las reglas para ingresar números.

    Métodos para encontrar determinantes de tercer orden.

    A continuación se encuentran las reglas para encontrar un determinante de tercer orden.

    La regla del triángulo al resolver matrices.

    Regla de triángulo simplificado como uno de métodos de resolución de matricesse puede representar de la siguiente manera:

    En otras palabras, el producto de los elementos en el primer determinante, que están conectados por líneas rectas, también se toma con el signo "+", para el segundo determinante: los productos correspondientes se toman con el signo "-", es decir, de acuerdo con este esquema:


    La regla de Sarryus para resolver matrices.

    En resolviendo matrices por la regla de Sarryus, a la derecha del determinante, agregue las 2 primeras columnas y los productos de los elementos correspondientes en la diagonal principal y en las diagonales paralelas a ella, tome con el signo "+", y los productos de los elementos correspondientes de la diagonal secundaria y las diagonales paralelas a ella, con el signo "-":

    La descomposición del determinante por fila o columna al resolver matrices.

    El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de la fila determinante por sus adiciones algebraicas. Por lo general, elija la fila / columna en la que / th hay ceros. La fila o columna a lo largo de la cual se realiza la descomposición se indicará con una flecha.

    Reducir el determinante a forma triangular al resolver matrices.

    En resolviendo matrices Al reducir el determinante a una forma triangular, funcionan de la siguiente manera: utilizando las transformaciones más simples en filas o columnas, el determinante se convierte en un tipo triangular y luego su valor, de acuerdo con las propiedades del determinante, será igual al producto de los elementos que están en la diagonal principal.

    Teorema de Laplace en la resolución de matrices.

    Al resolver matrices por el teorema de Laplace, es necesario conocer el teorema mismo. Teorema de Laplace: Let Δ Es un determinante norden Elige cualquiera k filas (o columnas), proporcionadas kn - 1. En este caso, la suma de las obras de todos los menores korden contenida en seleccionados k las filas (columnas) en su complemento algebraico serán iguales al determinante.

    Solución de matriz inversa.

    Secuencia de acciones para soluciones de matriz inversa:

    1. Comprende si una matriz dada es cuadrada. En el caso de una respuesta negativa, queda claro que no puede haber una matriz inversa para ella.
    2. Comprende si una matriz dada es cuadrada. En el caso de una respuesta negativa, queda claro que no puede haber una matriz inversa para ella.
    3. Calculamos complementos algebraicos.
    4. Hacemos una matriz aliada (mutua, conectada) C.
    5. Componemos la matriz inversa de complementos algebraicos: todos los elementos de la matriz contigua C dividir por el determinante de la matriz inicial. La matriz resultante será la matriz inversa deseada en relación con la dada.
    6. Verificamos el trabajo realizado: multiplicamos la matriz inicial y la matriz resultante, el resultado debe ser una matriz única.

    Solución de sistemas matriciales.

    Para soluciones de sistemas matriciales con mayor frecuencia usa el método de Gauss.

    El método de Gauss es un método estándar para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) y consiste en el hecho de que las variables se excluyen secuencialmente, es decir, por medio de cambios elementales, el sistema de ecuaciones se lleva hacia y desde el sistema triangular equivalente, secuencialmente, comenzando desde este último (por número), encuentra cada elemento del sistema.

    Método de Gauss es la herramienta más versátil y mejor para encontrar soluciones matriciales. Si el sistema tiene un número infinito de soluciones o el sistema es incompatible, entonces no puede resolverse mediante la regla de Cramer y el método de la matriz.

    El método de Gauss también implica directo (reduciendo la matriz extendida a una forma escalonada, es decir, obteniendo ceros debajo de la diagonal principal) e inverso (obteniendo ceros sobre la diagonal principal de la matriz extendida). El curso de avance es el método de Gauss, el reverso es el método de Gauss-Jordan. El método de Gauss-Jordan difiere del método de Gauss solo en la secuencia de variables excluyentes.

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